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Geometrie

Das Dreieck als geometrische Figur

Das Dreieck als geometrische Figur

Das Dreieck, eine geometrische Figur, die aus drei Segmenten besteht, die drei verschiedene nicht ausgerichtete Eckpunkte verbinden, stellt eine der grundlegenden Polygonformen in der Geometrie dar. Ihre Bedeutung in Wissenschaft und Technik reicht bis in die Antike zurück, da sie eine der wesentlichsten und am weitesten verbreiteten geometrischen Figuren ist.

Ein wesentliches Merkmal von Dreiecken ist ihre Unveränderlichkeit, was sie zu entscheidenden Elementen im architektonischen Design macht, wie z. B. dem Eiffelturm, der auf einer Komposition dreieckiger Formen basiert, und im Ingenieurwesen, einschließlich fester Strukturen für Sonnenkollektoren. Darüber hinaus spielen sie eine grundlegende Rolle in der Geometrie, da alle Polygone in Dreiecke zerlegt werden können.

Eigenschaften von Dreiecken

Das Dreieck als geometrische FigurDreiecke sind grundlegende geometrische Figuren mit verschiedenen Merkmalen, die ihre Struktur und Eigenschaften definieren. Hier sind einige der wichtigsten Merkmale von Dreiecken:

  • Drei Seiten : Dreiecke sind Polygone, die genau drei Seiten haben. Diese Seiten sind Liniensegmente, die drei Punkte verbinden, die als Eckpunkte bezeichnet werden.
  • Drei Winkel : Jedes Dreieck besteht an seinen Eckpunkten aus drei Innenwinkeln.
  • Winkelsumme : In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180 Grad. Dies gilt für jede Art von Dreieck, egal ob gleichseitig, gleichschenklig oder ungleichseitig.
  • Entsprechende Seiten und Winkel : In einem Dreieck sind die entsprechenden Seiten und Winkel in kongruenten Dreiecken gleich. Unter Kongruenz versteht man die Gleichheit von Form und Größe.
  • Höhe und Median : In einem Dreieck ist die Höhe ein Liniensegment, das senkrecht zu einer Seite steht und durch den gegenüberliegenden Scheitelpunkt verläuft. Der Median ist ein Segment, das einen Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet.

Arten von Dreiecken

Diese geometrischen Figuren lassen sich nach verschiedenen Kriterien klassifizieren: 

Aufgrund der Größe der Innenwinkel kann es sein:

  • Spitzes Dreieck : Alle Innenwinkel sind spitz (weniger als 90 Grad).
  • Stumpfes Dreieck : Es gibt einen Winkel größer als 90 Grad.
  • Rechtwinkliges Dreieck : Einer der Winkel beträgt 90 Grad, ein rechter Winkel. In diesem Fall werden die beiden Seiten, die einen rechten Winkel bilden, Schenkel genannt und die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, wird Hypotenuse genannt.

Wie in der euklidischen Geometrie beträgt die Winkelsumme eines Dreiecks 180°. Daher müssen mindestens zwei Winkel im Dreieck spitz sein (weniger als 90°).

Aufgrund der Anzahl gleicher Seiten können diese Figuren sein:

  • Ungleichseitiges Dreieck : Die drei Seiten sind nicht gleich.
  • Gleichschenkliges Dreieck s: zwei Seiten sind gleich. Diese Seiten werden Seite genannt, die dritte Seite heißt Basis. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich.
  • Gleichseitiges Dreieck : Alle drei Seiten sind gleich. In einem gleichseitigen Dreieck betragen alle Winkel 60°.

Berechnen Sie die Fläche und den Umfang eines Dreiecks

Basierend auf der Abbildung unten können wir die folgenden Formeln verwenden, um den Umfang und die Fläche eines Dreiecks zu ermitteln:

Umfang

Um den Umfang zu berechnen, müssen wir einfach die Längen der Seiten der Figur addieren: a + b + c.

Bereich

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks ist das halbe Produkt aus der Grundfläche (nicht den Seiten) und der Höhe:

A = (b·h) / 2

Für den Fall, dass wir die Höhe nicht kennen, können wir die Formel von Heron anwenden.

Heron-Formel, Berechnung der Fläche eines Dreiecks

Wo:

  • a, b und c entsprechen den drei Seiten der geometrischen Figur.

  • A ist die Fläche

  • s ist der Halbumfang (ermitteln Sie den Umfang und teilen Sie ihn durch zwei):

Halbumfang eines Dreiecks

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der Schenkel die Basis und der andere entspricht der Höhe. Auf diese Weise lässt sich die Fläche einfacher berechnen.

Eigenschaften und Theoreme

Satz des Pythagoras

Das Dreieck als geometrische FigurDer Satz des Pythagoras ist eines der bekanntesten und nützlichsten geometrischen Ergebnisse. Es gilt für rechtwinklige Dreiecke, also solche mit einem rechten Winkel (90 Grad). Der Satz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden anderen Seiten ist. Mathematisch wird es ausgedrückt als:

a² + b² = c²

Dabei sind „a“ und „b“ die Längen der Beine und „c“ die Länge der Hypotenuse.

Der Satz des Pythagoras ist von grundlegender Bedeutung in der Geometrie und Trigonometrie und wird auf eine Vielzahl von Problemen angewendet, von der Berechnung von Entfernungen auf Karten bis zur Lösung quadratischer Gleichungen.

Winkelhalbierendensatz

Der Winkelhalbierendesatz bezieht sich auf die Winkelhalbierende in einem Dreieck. Es besagt, dass die Winkelhalbierende die dem Winkel gegenüberliegende Seite in zwei Segmente teilt, die proportional zu den beiden anderen Seiten des Dreiecks sind. Mathematisch wird es ausgedrückt als:

a/d = b/e

Dabei sind „a“ und „b“ die Längen der Seiten des Dreiecks und „d“ und „e“ die Längen der Segmente, in die die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite teilt.

Dieser Satz ist nützlich, um Segmente in Dreiecken zu berechnen und Schnittpunkte bei Winkelhalbierenden zu finden.

Thales-Theorem

Der Satz von Thales ist ein leistungsstarkes Werkzeug, um Segmente in ähnlichen Dreiecken in Beziehung zu setzen. Es besagt, dass, wenn eine parallele Linie zwei Seiten eines Dreiecks schneidet, diese Seiten in proportionale Segmente unterteilt werden. Mathematisch wird es ausgedrückt als:

m/n = p/q

Dabei sind „m“ und „n“ die Längen der Segmente auf einer Seite des Dreiecks und „p“ und „q“ die Längen der entsprechenden Segmente auf der anderen Seite.

Der Satz von Thales ist von grundlegender Bedeutung für die Lösung geometrischer Probleme und für den Nachweis der Eigenschaften ähnlicher Dreiecke.

Autor:
Veröffentlichungsdatum: 28. April 2022
Letzte Überarbeitung: 30. Oktober 2023